| Автор | Награда за помощь в математике 1-ого курса |
|---|
Здрасти! ))
Поскольку я прочно застрял в решении придётся обратится к форуму.
________________________________________________
Награда 10000 за полное доказательство сей задачки
Известно: k >= 0
Требуется доказать, что
(k+1)^(1/3) - k^(1/3) <= 1/(3k^(2/3))
используя данную формулу
x^n-y^n =
=(x-y)(x^(n-1) + x^(n-2) y + x^(n-3) y^2 + ... + x^2 y^(n-3) + x y^(n-2) + y^(n-1))
10000 даётся первому расписавшему правильное доказательство
3000 даётся за неполное решение тому, кто сможет мне доходчиво объяснить как и откуда вообще берётся это чёртово "меньше или равно 1 делить на 3 Ка в степени 2/3".
(Может я просто чего-то не вижу и всё элементарно)
Возможно дальнейшее сотрудничество с новой наградой, ибо это только первая часть вопроса, но ко второй я тупо не могу приступить без доказательства первого неравенства. |
| т. к. всё везде полож, я умножил все части ур-я на 3к^(2/3) |
преобразуя получаем (3к^3+3к^2)^1\3=<1+(3k^3)^1\3 далее
возводим обе части в куб 3к^3+3k^2=<(1+(3k^3)^(1\3))^3
далее применяем формулу 5го класса возведение в куб после сокращаем
ненужные элименты, т.к. к>0 получаем очевидное равенство |
| всё просто-правда писанины много-а так фигня.... |
x=(k+1)^(1/3)
y=k^(1/3)
x^3-y^3=(x-y)*(x^2+x*y+y^2)>= (т.к. x>y>=0 ) (x-y)*3*y^2
следовательно x-y<=(x^3-y^3)/(3*y^2)
x^3-y^3=1
y^2=k^(2/3)
Получаем итоговое неравенство |
10000 передано Alekcsss за помощь.
Сейчас вижу как можно произвести формальное доказательство без формулы ))
Вторая задача будет залита в альбом.
Награда ещё 10000, ибо чё то это для меня дремучий лес. |
для Kuzya88:
Сейчас вижу как можно произвести формальное доказательство без формулы ))
есть много путей решить ее, но используя данную формулу - это как в моем решении :) |
задача из альбома тривиально следует из неравенства :)
Рассмотрим наше неравенство:
(k+1)^(1/3) - k^(1/3) <= 1/(3k^(2/3))
и просуммируем обе части по целым k от 1 до (n-1). Получим:
n^(1/3)-1 <= сумма от k=1 до (n-1) 1/(3k^(2/3))
Далее нужно просто перенести 3 в левую часть :) |
всем спасибо!
теперь буду знать к кому обращаться в случае, если мне опять будут не даваться задачки. |
| тема закрыта by Kuzya88 (2009-01-14 02:26:50) |
|---|
